PRENDIZAJE Y GEOMETRIA DINAMICA EN LA ESCUELA BASICA

Investigadores del Instituto Central de Ciencia Pedagogicas del Ministerio de EducacIón de la Republica de Cuba.

El presente trabajo se inscribe tambien en la conjuncIón de dos líneas de investigacIón en las que ha incursionado durante mas de una decada un grupo de investigadores nucleados alrededor de los autores del mismo: la resolucIón de problemas y el uso de la tecnología en la enseñanza de la Matematica.¹

El marco teórico de estos trabajos descansa por una parte en la investigacIón didactica sobre el desarrollo de la capacidad de resolucIón de problemas y por otra en la concepcIón de que las nuevas tecnologías impactan la enseñanza de la Matematica mas alla de un simple medio de calculo. En el caso de este trabajo específico sobre la enseñanza aprendizaje de la geometría en la escuela de educacIón basica, se incluyen los aportes de los autores en cuanto al trabajo con conceptos², juicios y razonamientos en la escuela y la concepcIón de un curso de geometría para la escuela de educacIón basica³ en Cuba.

Ambas Hneas se desarrollan con un enfoque histórico-cultural de los procesos de enseñanza-aprendizaje, en el que se reconoce el papel de lo social y la interiorizacIón en estos procesos sin desconocer su caracter personal, subjetivo e intransferible.

La aportacIón fundamental del trabajo apunta hacia la integracIón de las "calculadoras" y "supercalculadoras" en el proceso de enseñanza aprendizaje, como una herramienta heurística mas, que junto a otras estrategias, tecnicas y procesos metacognitivos, son utilizadas por los alumnos de manera natural en los procesos de resolucIón de problemas y adquisicIón de nuevas estrategias cognitivas. Por supuesto, sobre la base de la necesidad de conduccIón de estos procesos y, por tanto, de su inclusion explícita en el proceso de enseñanza-aprendizaje.

En este material se abordanin, coma se plantea en el título, algunas consideraciones que son importantes para esclarecer las posiciones personales de los autores acerca de la enseñanza de la geometría en la escuela basica, teniendo en cuenta los avances tecnológicos que existen en este momenta y de los cuales la escuela se puede valer para transformar las formas usuales de organizar y dirigir el proceso de enseñanzaaprendizaje de la matematica, y de la geometría en particular.

Como casi todo el mundo esta de acuerdo, desde tiempos inmemoriales hasta la actualidad, la enseñanza y el aprendizaje de la geometría es uno de los aspectos esenciales de la matematica en la escuela de educacIón general, a lo cual no se puede renunciar. No obstante, es obvio que la forma de enseñar y de aprender geometría tiene que sufrir transformaciones, que van mas alla de una simple reorganizacIón del contenido geometrico o de una variante diferente de presentacIón de los mismos segun el punto de vista que se adopte para ello, aunque sea tambien necesario pensar en ello para poder lograr las transformaciones que se desean lograr.

Ante tal disyuntiva, nuestra opinion, que argumentaremos posteriormente, es que es necesario repensar la estructuracIón del curso actual de geometría en la escuela de educacIón general basica, e incluir en la nueva concepcIón la preparacIón para el uso de nuevas tecnologías desde edades tempranas, lo cual permitiria concebir el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría en una actividad mas productiva y donde el tiempo que se gana puede ser invertido en cosas mas utiles encaminadas a la solucIón de situaciones interesantes y de problemas que favorecerían un mayor desarrollo de sus capacidades intelectuales y de su pensamiento en general. No obstante, para dar pasos en esa direccIón habría primero que buscarle respuesta a una serie de cuestionamientos necesarios que uno se hace sobre cómo dar esos pasos, especialmente en la escuela primaria. Entre ellos:

• ¿Cuales son los cambios en el sistema de trabajo que habría que producir yen que edades?


• ¿Cual sería el objetivo de su introduccIón en cada caso?


• ¿Sería necesario hacer modificaciones curriculares?


• ¿Que instrumentacIón didactica realizar para que sea exitosa su introduccIón?


• ¿Que recurses tecnológicos emplear y cómo hacerlo?

¿Por que hacer cambios y en que direccIón hacerlos?

Los cambios que hay que producir, tienen que estar dirigidos a una nueva manera de trabajar estos contenidos donde se puedan explotar mas y mejor los recurses tecno1ógicos actuates y poner a los alumnos en situacIón activa de aprendizaje y donde se enfrenten continuamente a procesos de busqueda, planteo de conjeturas, comprobacIón experimental de ellas, entre otras formas de actuacIón.

En relacIón con lo planteado en el parrafo anterior, es necesario discutir cómo se ha estado enseñando la geometría durante miles de años y cómo se puede iniciar un proceso de cambio en ello.

La forma clasica de trabajar la geometría, presenta las figuras estaticas, por tanto aparece siempre una posicIón particular, una concepcIón particular, una figura en particular. Esto hace que el alumna forme en su imaginacIón y siempre presente a las figuras geometricas de una manera concreta.

En relacIón con lo anterior, independientemente de todas las cosas que puedan decirse sabre el hecho de que las figuras geometricas son abstractas, todo lo que pueda decirse sabre el hecho de que esas figuras son solamente un caso particular, que no deben asumirse las propiedades de la figura concreta que esta viendo, en la practica el alumna siempre ve una figura y siempre piensa sabre una figura y las propiedades las asocia con una determinada figura.

Por ejemplo, aunque enunciamos que la suma de los angulos interiores de cualquier triangulo es de 180 grados, siempre el alumna lo va a ver asociado a un determinado triangulo, y dificilmente el va a asumir esa propiedad cualquiera que sea el triangulo, porque va a tener alguna figura concreta en su cabeza.

En el trabajo con esta propiedad, que es quiz.is una de las que mas se trabaja, se le hace ver al alumna que da lo mismo que el triangulo sea rectangulo, acutangulo u obtusangulo, pero sin embargo no se tiene tanto cuidado con la figura que sirve de modelo. De igual modo se enuncia, por ejemplo, el hecho de que la distancia entre dos puntos es el menor camino, o que cada lado de un triangulo es menor que la suma de los otros dos, y tambien eso siempre se ve asociado a una determinada forma de figura.

Ahora bien, cuando las figuras geometricas adquieren la forma de moverse, es decir, adquieren dinamismo, estamos en presencia de la geometria dimimica y esta permite que el alumno se forme una idea mas general de esas figuras geometricas, que no asocie las propiedades a una forma particular de las figuras.

Por ejemplo, en el caso de la suma de los angulos interiores de un triangulo, el podra ver que cuando movemos el triangulo esto hace que se mantenga la suma de sus angulos interiores y permite, ademas, precisar el caso especial del triangulo rectangulo y el caso limite que es el caso en que un angulo se hace 180 grados y los otros dos miden O grados.

De igual modo sucede con la propiedad de que en todo triangulo, cada lado es menor que la suma de los otros dos, donde con esta variante dinamica se puede, ademas de comprender de una manera mas general la propiedad, tambien precisar el caso límite, es decir, cuando los tres puntos estan en línea recta que es cuando se obtiene la igualdad.

Lo mismo pasa con cualquier tipo de figura, por ejemplo cuando se toma un paralelogramo cualquiera y se analiza la amplitud de sus angulos opuestos, el alumno podra apreciar que cualquiera que sea la forma de ese paralelogramo, se va a mantener la propiedad de que esos angulos son iguales o que tienen la misma amplitud, pero sin embargo, si se toma

la longitud de los lados consecutivos, los alumnos veran que la propiedad de igualdad de dos lados consecutivos solo se va a cumplir en un tipo muy particular de cuadrilatero (el rombo y, en particular, el cuadrado) pues cuando uno lo mueve va a obtener variaciones.

Esto hace que la geometria dinamica permita a los alumnos formarse conceptos mucho mas generales acerca de las figuras geometricas y comprender de una manera mas completa las propiedades geometricas. De esa manera el alumno no va a asociar ya cada propiedad con una forma particular de la figura.

Otra ventaja de la geometria dinamica es que permite aprovechar plenamente una de las estrategias heurísticas en la solucIón de problemas geometricos que dificilmente puede ser aprovechada en otros casos, que es la estrategia de "mover la figura". De esta manera el alumno puede mover la figura y conservar ciertas propiedades, y puede formarse una imagen de que cosa es lo que ocurre al hacer las variaciones y así tener ideas de cómo resolver el problema, es decir, esto permite realizar esta estrategia heurística, ya recomendada por Polya en el año 1944 en la primera edicIón de su libro How to solve it, que de otra forma es casi imposible de hacer. Lo mismo ocurre con la estrategia heurística de "considerar casos particulares", "considerar casos limites", así como "medir y comparar", entre otras, en las cuales al darle movilidad a la figura se hacen visibles de una manera muy natural y se pueden alcanzar esos casos y formarse una idea de cual puede ser la solucIón del problema.

Por otra parte, dado que cuando se va a hacer dinamica una figura hay que mantener determinadas condiciones, la geometría dinamica permite fijar las propiedades basicas de las figuras porque para poderla mover y que continue siendo lo que se quiere que sea, se debe saber exactamente que se puede mover y cómo se puede mover.

¿Que cambios curriculares habria que hacer?

Al igual que se planteó con la calculadora en la escuela primaria⁴ es posible introducir la calculadora y otros avances tecnologicos desde la escuela primaria, y no debe haher limitantes en cuanto a la edad si se precisan bien los propositos de su uso y esto se hace atendiendo a las caracteristicas de los escolares segun su edad.

La definicIón de en que usar esos medios dentro de la geometría en cierto modo se corresponden con algunas de las ya antes definidas para el uso de las calculadoras en la aritmetica. Entre ellas pueden citarse:

• Concentrarse en el proceso de resolucIón de problemas y no solo en el calculo formal clasico de la geometría, como es el caso de calcular perfmetros, areas, volumenes, entre otros.


• Explorar, desarrollar y reforzar conceptos y relaciones geometricas.


• Utilizarla como medio heurístico, para la busqueda de relaciones, planteo de conjeturas de modo de dar acceso a otras formas de pensamiento que van mas alla de los algorítmicos propiamente dichos.

Para objetivar vías de demostracIón de propiedades de las figuras geometricas.

Para implementar el uso de esta tecnología habría que estructurar un curso de geometría que le de cabida a lo que hemos denominado geometría dinamica, es decir que de posibilidades de "darle movilidad a las figuras" ademas de realizar calculos si son necesarios.

Para darle respuesta al planteamiento anterior nos remitimos a exponer brevemente tres caminos o vías mas utilizadas actualmente para fundamentar un curso de geometría en la escuela⁵:

• El camino de Hilbert que parte de la congruencia de segmentos y de angulos.


• El camino de Pieri, que siguiendo a su maestro Peano considera como primario (no definido) el concepto de movimiento.


• El camino seguido por Kagan que partIó del concepto de distancia entre dos puntos.

En realidad, estos tres caminos son equivalentes desde el punto de vista de la ciencia matematica, pues a partir de uno cualquiera de ellos se llega facilmente a los otros dos, la diferencia estriba en cual de los tres conceptos: congruencia, movimiento, distancia, se considera el principal o el primario. Lo antes planteado significa que desde el punto de vista matematico, la importancia relativa de uno u otro de estos tres conceptos no tiene ninguna significacIón, sin embargo, desde el punto de vista didactico, si tiene una atencIón preferente.

En el piano didactico, cuando se va a concretar el contenido de un curso de geometría en la escuela, por razones metodológicas Y teniendo en cuenta la edad de los niños, nunca la construcción se hace siguiendo en una forma pura ninguno de los tres carninos antes referidos. Por ejemplo, en Cuba, en la actualidad⁶, se parte del camino de Hilbert en que se considera como primario el concepto de congruencia geometrica.

En el camino antes referido para la construcción del curso en Cuba, se hace una simplificación didactica en el sentido de Euclides en la cual se le da a la congruencia el significado de "igualdad por superposición" o "pueden transportarse uno sobre otro". No obstante, desde los primeros grados se identifica la congruencia de segmentos con la igualdad de longitud (distancia entre puntos) que es el carnino de Kagan, y en los grados superiores de la primaria se introducen los rnovimientos como vía de justificacIón de la igualdad por superposicIón, esencialmente cuando se trata de figuras no lineales en donde no se puede identificar o justificar la congruencia con la igualdad de longitud.

Esta vía de construir la geometría en la escuela primaria cubana, desde el punto de vista gnoseológico, comienza en la practica y culmina en la practica, en condiciones cualitativamente superiores, despues que ha sido enriquecida por un proceso de elaboracIón intelectual del hombre. Este regreso de nuevo a la practica constituye, ademas, el unico criterio de verdad. En forma resumida y esquematica este proceso se puede representar así, incluidos algunos procesos del pensamiento que se dan en ese camino dialectico:

Estas posiciones antes planteadas desde el punto de vista gnoseológico, son tambien la base metodológica en la concepcIón de la geometría en la escuela de educación general cubana que se apoyan tambien en posiciones psicopedagógicas que entre las mas significativas se encuentra la concepción acerca del desarrollo y la injluencia de lo social en el mismo (Vigotsky).

En el diagrama siguiente se resume esta concepcIón donde se aprecian claramente dos etapas: Una etapa intuitiva que comprende los cuatro primeros grados de la educación primaria y una etapa racional que comienza en el quinto grado y se extiende hasta el ultimo año de la secundaria basica. En ella se hacen visibles las posiciones teóricas antes referidas.

En nuestra opinion, esta concepcIón permite hacer Ia introduccIón de Ia tecnologia, en este caso el empleo de calculadoras, supercalculadoras y computadoras, en el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometria, pues con ella existe la posibilidad de "mover las figuras geometricas", es decir, variarlas de modo que adquieran dinamismo, y antes hemos dicho que cuando eso sucede estamos en presencia de la geometria dinamica y esta permite que el alumno se forme una idea mas general de esas figuras geometricas y no asocie las propiedades a una forma particular de las figuras, no obstante habría que incluir algunos elementos de contenido, especialmente en lo que a habilidades se refiere, que permitan tambien aprender a "mover en una figura o variarla".

Obviamente, para esa introduccIón, habría que hacer una diferenciacIón del trabajo entre las dos etapas antes referidas (intuitiva y racional), atendiendo, a su vez a los momentos del desarrollo del escolar atendiendo a sus edades. Los referidos momentos o etapas del desarrollo⁷ en la primaria son los siguientes:

• Preescolar a segundo grado.


• Tercero a cuarto grado.


• Quinto y sexto grado.

En la secundaria, tambien se puede hablar de etapas del desarrollo del escolar, viendose el septimo grado como una transicIón entre el tercer momento de la primaria y el cuarto momento en la secundaria que ya comprende los ultimos grados de la misma.

En la concepcIón y organizacIón del trabajo pedagógico con estas edades, es muy importante delimitar cada una de estas etapas para poder estructurar y organizar este trabajo de acuerdo al desarrollo a lograr en cuanto a procesos y funciones psfquicas, así como a otros aspectos del desarrollo de la personalidad, que como regularidades de cada momenta tienen una diferenciacIón y por tanto requieren de una atencIón específica.

Los anteriores criterios que sirven de base para la estructuracIón del contenido geometrico en la escuela primaria cubana, tambien seran utilizados para la determinacIón de las funciones del uso de la tecnología en cada uno de los referidos momentos.

Una posibilidad entonces de estructurar este curso es tener en cuenta las etapas consideradas en la primaria, completarla con la de la secundaria y tener en cuenta, ademas, las consideraciones hechas con anterioridad sobre las etapas intuitiva y racional en la concepcIón del curso de geometría en Cuba.

¿Cuales pueden ser las caracteristicas del contenido geometrico en cada etapa, con una concepcion dinamica, y que papel podria jugar la tecnologia en cada una de ellas?

Cuando hablamos de contenidos geometricos estamos en presencia de un concepto que incluye no solo conocimientos de figuras y cuerpos, sino tambien de relaciones que se pueden establecer entre ellas y de habitos y habilidades que permiten operar con esos conocimientos. Dentro de estos habitos y habilidades se encuentran el de poder realizar calculos geometricos propiamente dichos, superponer, trazar, medir, comparar, hacer construcciones, entre las mas comunes, y otras con un mayor peso intelectual como son 1as de definir, argumentar, conjeturar, demostrar, entre otras.

En este trabajo se asumen todas esas habilidades que chisicamente se han incluido en los cursos elementales de geometría, pero se incluyen otras que son necesarias como condiciones previas para poder usar los recursos tecno1ógicos que estamos proponiendo. Entre ellas se encuentran:

• Construir figuras (rectas, rectas paralelas y perpendiculares, segmentos, angulos, polígonos, circunferencias) a partir de puntos.


• Determinar puntos libres y variar las figuras a partir de ellos (habilidad rectora).


• Trazar puntos y figuras simetricas.


• Inscribir figuras en otras figuras dadas.

Estas habilidades se pueden ir trabajando desde edades tempranas, usando medios adecuados para ello como los clavijeros o el geoplano (se puede construir facilmente con un pedazo de madera cuadrada y puntillas equidistantes unas de otras en un arreglo rectangular (cuadrado). Se puede hacer de 9 x 9, con un total de 81 puntillas, o de cualquier cantidad impar. Este medio se complementa con ligas o elasticos que son los que le van a dar la movilidad.

En el los alumnos pueden ir formando figuras con las ligas y las puntillas, y empezar el analisis de propiedades y en cada etapa o momento de desarrollo en la primaria se puede utilizar con variados fines.

A continuacIón se describen brevemente las funciones de cada etapa del desarrollo, en lo que corresponde a la preparacIón para el uso de recursos tecnológicos y el uso propiamente dicho de los mismos.

Inicio de las primeras ideas sobre la movilidad de las figuras para comprobar experimentalmente relaciones de congruencia. Uso de clavijeros y ligas para ir desarrollando la habilidad de "mover' en una figura (GEOPLANO). ReproduccIón en papel cuadriculado. Superponer, medir, comparar.

Por ejemplo, se puede mandar a formar un cuadrado en el geoplano. Despues que lo tengan (aqui de entrada se estan reforzando las propiedades del cuadrado, al menos la percepcIón que tienen de esa figura si es que se trata de primer grado donde todavia solo lo identifican por su forma memoria perceptual pero no han analizado propiedades), se les puede indicar que:

• dejando el lado de abajo fijo del cuadrado original, formen un rectangulo (no cuadrado),


• dejando el lado izquierdo fijo, formen un rectangulo diferente al anterior,


• varien el cuadrado original y lo conviertan en un triangulo, dejando fijos el lado de abajo y el izquierdo.

Por ultimo se les puede dejar que a partir del cuadrado original formen libremente figuras diferentes y digan de que figura se trata (si es conocida) y cómo la han obtenido.

 

Otra actividad que se puede hacer es dado un triangulo que ellos van a representar en el geoplano, dibujarlo en el papel cuadriculado conservando su forma y tamaño. Despues mover el punto de arriba (el vertice superior) de modo de formar muchos triangulos con un mismo lado (el de abajo) e ir reproduciendo lo que hacen en el papel cuadriculado. Esto permite hacer otras actividades como las de medir (o superponer usando una tira de papel como transportador o la misma regla) y comparar los lados de los triangulos que van obteniendo, de modo que puedan concluir cuando son iguales (congruentes) y cuando no, en cada caso.

Este tipo de actividad permite ir obteniendo casos especiales (rectangulos, isosceles, entre otros), aunque todavía sea prematuro denominarlos de ese modo, pero que se puede llamar la atencIón, por ejemplo, que hay casos en que los lados son iguales (isosceles), hay otros donde un lado coincide con un lado de la cuadricula que no es el que esta fijo (rectangulo), entre otras cosas, y que si siguen moviendo cada vez mas, pueden llegar a "perder el triangulo", o sea obtienen un caso Iímite de un triangulo degenerado.

El control se puede hacer por parejas o por el mismo equipo (pequeños grupos de alumnos en que se puede descomponer el grupo original) si se organiza la actividad de esta manera, o por el propio maestro en caso de otra forma de organizacIón.

En esta etapa no se propone ningun uso de la tecnología para el caso de la geometría, es solo una etapa de preparacIón donde lo que se pretende es ir sentando las bases de una geometría dinamica para en un futuro, si poseen los medios, puedan usar la tecnología que estamos proponiendo. En ella se plantea la realizacIón de "simulaciones" con el medio denominado geoplano y donde se puede iniciar el desarrollo de algunas de las habilidades antes planteadas.

En caso de no poseer despues estos recursos, siempre se obtiene la ganancia de una mayor flexibilidad del pensamiento de los alumnos y su posibilidad de una mayor comprensIón cuando se les plantee que algo se cumple para cualquier tipo de figura y no solo para aquella que han dibujado para representar una situacIón dada.

No obstante, no se excluye la posibilidad de usar determinados software que se pueda disefiar con caracter instructivo en un entomo ludico, pero que en un primer momento no sería de utilizacIón masiva.

Una segunda etapa sería la que se corresponde con el segundo momento de desarrollo (tercero y cuarto grados de la primaria con edades entre 8 y 9 años aproximadamente). En esta etapa se propone tambien el uso del geoplano, ademas de los medios normalmente utilizados para el trabajo en geometría en estos grados como son regla, cartabón, tijera, entre otros.

En esta etapa no se propone ningún uso de la tecnología para el caso de la geometría, es solo una etapa de preparación donde lo que se pretende es ir sentando las bases de una geometría dinámica para en un futuro, si poseen los medios, puedan usar la tecnología que estamos proponiendo. En ella se plantea la realización de “simulaciones” con el medio denominado geoplano y donde se puede iniciar el desarrollo de algunas de las habilidades antes planteadas.

En caso de no poseer después estos recursos, siempre se obtiene la ganancia de una mayor flexibilidad del pensamiento de los alumnos y su posibilidad de una mayor comprensión cuando se les plantee que algo se cumple para cualquier tipo de figura y no solo para aquella que han dibujado para representar una situación dada.

No obstante, no se excluye la posibilidad de usar determinados software que se pueda diseñar con carácter instructivo en un entorno lúdico, pero que en un primer momento no sería de utilización masiva.

Una segunda etapa sería la que se corresponde con el segundo momento de desarrollo (tercero y cuarto grados de la primaria con edades entre 8 y 9 años aproximadamente). En esta etapa se propone también el uso del geoplano, además de los medios normalmente utilizados para el trabajo en geometría en estos grados como son regla, cartabón, tijera, entre otros

AmpliacIón de las ideas sobre la movilidad de las figuras para comprobar experimentalmente relaciones de congruencia, y conservacIón de otras propiedades como el paralelismo y la perpendicularidad. ContinuacIón del uso del geoplano para ir desarrollando la habilidad de "mover" en una figura. ReproduccIón en papel cuadriculado. Superponer, medir, comparar. En esta etapa ya se pueden empezar a determinar paralelas y perpendiculares que pasen por un punto o que lo sean a un segmento dado. Se puede usar tambien el geoplano para variar condiciones dadas.

Estas ideas van a permitir ir preparando los conceptos de puntos y figuras simetricas, que son muy importantes desde el punto de vista geometrico, pero que tambien permiten desarrollar la habilidad de moverse a lo largo de lados y diagonales de cuadraditos (derecha e izquierda y viceversa, arriba y abajo y viceversa), que es muy util para el trabajo con coordenadas y para el uso posterior de las supercalculadoras pues el cursor tiene esos movimientos. Para ello se puede utilizar tanto el geoplano como el papel cuadriculado, e incluso disefiar actividades ludicas como la siguiente.

Se juega entre dos. El juego consiste en que el primero le pone una situacIón al segundo, en una de las dos partes separadas por las ligas (semiplanos y eje de simetría) de modo que el otro lo tenga que hacer igual, pero "al reves", y le añade una nueva situacIón al primero que debe ponerla igual y ponerle de nuevo una situacIón al segundo. Y así se va jugando hasta que alguno se equivoque y entonces el otro gana o queden empatados cuando se cumpla el numero de jugadas establecidas previamente.

En esta etapa tambien se tienen que seguir hacienda variaciones de figuras con las nuevas dificultades que se han ido incorporando, explorando propiedades que se conservan o que se pierden.

En las exploraciones que se pueden hacer se encuentra, por ejemplo, la de a partir de una figura como el paralelogramo ABCD y dejando solo libre el punto C, moverlo sobre la paralela que pasa por el lado DC. En este caso se conserva el paralelismo de un par de lados pero se pierde el del otro par y la figura deja de ser un paralelogramo para pasar a trapecio (ABED), a triangulo cuando Cy O coinciden (ABD) ya una figura no convexa que ellos no saben denominar (ABFD).

En esta etapa tambien se puede ir preparando el concepto de area y el de perímetro de las figuras geometricas elementales, que dan la posibilidad de ampliar la ejercitacIón posterior, aprovechando de nuevo el geoplano y la idea de mover una figura.

La actividad consiste en determinar en el geoplano figuras elementales, preferentemente empezando por el cuadrado, y mandar a contar los cuadrados que le quedaron dentro. Cualquiera que sea el cuadrado que haya seleccionado cada alumno le va a quedar o 1, 4, 9... lo que se puede obtener variando la figura original. Es decir: 1, 2x2, 3x3, ...

Si varían la figura pasandola a un rectangulo, se mantiene la multiplicacIón del numero de cuadrados por cada lado: 3x2 en este caso.

Se deja planteado el problema de coal sera la cantidad de cuadraditos si lo convierten en un triangulo como el de la figura.

En el tercer momento del desarrollo se esta entrando en la etapa denominada racional del aprendizaje de la geometría, por lo que aunque se conservan elementos de la etapa intuitiva operativa, ya sedan pasos en la direccIón de un mayor trabajo con los procesos lógicos asociados a razonamientos, basicamente en el planteamiento de conjeturas.

r, aprovechando de nuevo el geoplano y la idea de mover una figura.

ContinuacIón de la ampliacIón de las ideas sobre la movilidad de las figuras para comprobar experimentalmente, y formalmente, relaciones de congruencia, y conservacIón de otras propiedades como la igualdad, el paralelismo y la perpendicularidad. Busqueda de elementos simetricos en una figura y en par de figuras. ContinuacIón del uso del geoplano para ir desarrollando la habilidad de "mover' en una figura. Uso de supercalculadoras (principalmente por el docente) como medio heurístico de apoyo a la exploracIón, comprensIón y busqueda de casos particulares y Iímites en la demostracIón de propiedades. Reproducción (simulacIón) del alumno usando el geoplano. Uso de la calculadora en la solucIón de problemas geometricos de calculo y demostración.

En esta etapa se deben continuar trabajando con actividades donde el alumno tenga que hacer variaciones a figuras con el geoplano, buscar puntos y figuras simetricas en el papel cuadriculado y en el geoplano, similares a las que se vieron en la etapa anterior e incluyendo los casos de figuras propiamente simetricas como el cuadrado, el rectangulo, el triangulo isosceles, el triangulo equilatero, el rombo, la circunferencia, entre otras.

Por ejemplo, determinar las imagenes del círculo negro (mas grande) y el rectangulo, por las simetrias de los ejes dados e investigan si el triangulo dado es simetrico. En caso de no serlo, varíarlo para que lo sea y trazar sus ejes de simetría.

Estamos planteando tambien en esta etapa la posibilidad de ir combinando el uso del geoplano con la calculadora (para ser utilizada por el alumna en situaciones de problemas) y las supercalculadoras, estas ultimas para ser utilizadas coma media de enseñanza y recurso heuristico para el docente. Por ejemplo, ya se le pueden plantear situaciones coma la siguiente: ¿Cual es el rectangulo de mayor area con perimetro de 32cm?

La solucIón de este problema puede encontrarse tanteando y usando la calculadora, usando el geoplano o usando la supercalculadora. Por ejemplo:

En este caso se ubica en la parte inferior del geoplano la longitud del semiperímetro y se van formando los rectangulos. Se puede ya conjeturar que es el cuadrado, pues el area es de 16 unidades cuadradas. Esto se puede tambien explorar en la supercalculadora fijando de igual modo un segmento de la longitud del semiperímetro.

Un problema analogo pero de mayor complejidad para su ilustracIón utilizando recursos tecnológicos es: ¿Cual es el rectangulo de menor perímetro con un area dada? En este caso el uso del geoplano ya no puede ser por las complejidades que tiene representar una magnitud no lineal como es el area, pero pueden buscarse las ideas tanteando con la calculadora o usando una supercalculadora (se usa como lugar geometrico para mover el punto libremente a una hiperbola del tipo xy=l).

En la ultima etapa, concebida para el nivel de secundaria (entre 12 y 14 años) ya se puede entrar con mas fuerza en la etapa racional y trabajar con mas peso la busqueda de propiedades y sus comprobaciones experimentales o sus demostraciones.

Continuación de la ampliacIón de las ideas sobre la movilidad de las figuras para comprobar experimentalmente, y formalmente, relaciones de congruencia, y conservacIón de otras propiedades como la igualdad, el paralelismo y la perpendicularidad. Busqueda de elementos simetricos en una figura y en par de figuras. Uso de las supercalculadoras por el docente como medio heurístico de apoyo a la exploracIón, comprensIón y busqueda de casos particulares y límites en la demostracIón de propiedades y por el alumno para continuar desarrollando la habilidad de "mover" en una figura y tambien como recurso para la busqueda de propiedades y de ideas para su demostracIón, y en la solucIón de problemas geometricos de demostracIón, de construccIón y de calculo.

Busqueda de figuras semejantes y de propiedades asociadas a esta relacIón. En esta etapa ya el uso del geoplano puede verse mas limitado pues ya hay que eliminar la limitacIón de la utilizacIón unicamente de cantidades discretas, por ello es mucho mas necesario el trabajo con la supercalculadora y para ello iniciar al alumno en el uso de las supercalculadoras. Ello no significa que en ausencia de este medio no se pueda usar el geoplano con las mismas intenciones que en los grados anteriores.

En relacIón con la organizacIón del contenido en esta etapa, ser►a deseable que el contenido geometrico clasico que se ha estado trabajando desde los primeros grados, se sistematizara de una manera diferente para propiciar el proceso de busqueda y evitar que se vuelvan a trabajar de una manera clasica los contenidos. Una manera de organizar este contenido pudiera ser, mediante un enfoque de enseñanza a traves de problemas, de la forma siguiente: