En [1] mencionamos la relación para las densidades del campo equivalente p y P (formula I.5-6). Ahora presentaremos la relación entre densidades de corriente equivalentes

Obtenemos esta formula usando la definición:

y con la igualdad:

Para una presentación mas compacta introduciremos la matriz antisimetrica

Ahora la ecuación (1.5-3) se presenta como:

notamos que en estos tres casos l a matriz constante a ₀ es ortogonal:

a ₀ ^T a ₀=I

y ademas, por la elección del sistema de coordenadas, a₀ puede ser la matriz unidad.

Podemos mencionar ciertas formulas y propiedades utiles:

Casos particulares de los campos equivalentes al campo nulo El grupo de Shapavalov [2] para la ecuación no estacionaria de Schrodinger es (1.4- 11):

con las relaciones (3) y (4) ahora el campo equivalente al campo nulo

denotamos la matriz

Observamos que el campo mas amplio, equivalente al campo nulo, puede contener el campo magnetico dependiendo unicamente del tiempo:

mientras que el campo electrico es lineal relacionado a

con los coeficientes matriciales que dependen del tiempo. De otra manera la formula (Sb) se puede presentar como:

donde el segundo termino representa la fuerza centrifuga. Tambien en el caso general podemos calcular el producto escalar entre

Claro que tales campos no son ortogonales en el caso general; el angulo entre ellos se define por

Teorema. A la clase de los campos equivalentes al campo nulo pertenece el campo

Demostración: Si imponemos

entonces de la formula (8) tenemos:

Existe la solución general de la ecuación (10b):

que puede ser cero). La ecuación (10 a) tiene la solución si y solo si det b = O. Visto (6c):

y usando que

encontramos:

Esta ecuación algebraica de tercer orden relacionada a

con w ² = w ² dada, siempre tiene al menos una solución real (tratada ya en varios libros de referencias). Entonces la condición

se verifica para cualquier campo

Conclusion:

Todos los campos equivalentes al campo nulo que no son ortogonales son equivalentes al campo ortogonal. Es importante observar que la "transformación" de las coordenadas incluye necesariamente la transformación del tiempo:

Sin embargo si imponemos s = 1 tenemos, como condición de ortogonalidad

(notamos que este caso es tratado en [1] y no es general como esta presentada en el articulo).

Ahora presentaremos la densidad de carga y la corriente de probabilidad de un campo equivalente al campo nulo. Usando la formula (I.5-6) y la (1) hallamos:

Oscilador isotropico Usando la formula (7) vemos que si

tenemos el campo del oscilador isotr6pico:

lo que corresponde a la energia potencial

con

Esta forma impone la relación conocida como ecuación de un oscilador arm6nico: visto el grupo de Shapovalov (5a) tenemos:

Dicha transformación pone en relación la ecuación de Schrodinger libre

Las soluciones de la ultima ecuación (15) son bien conocidas en la literatura (vease por ejemplo [3]). Observamos que estos estados se encuentran por la medida del conjunto de integrales de movimiento siguientes:

Notamos que ademas de la transformación (13) se necesita usar la invariancia de aforo (gauge invariance):

Aqui

son las arm6nicas esfericas y

son las funciones radiales que se presentan en la función de los polinomios: funciones hipergeometricas degeneradas [3]. Las soluciones no estacionarias (16) de la ecuación de Schrodinger libre son conocidas en la literatura como estados coherentes. Por ejemplo, la función del estado fundamental que verifica la ecuación (14) se puede escribir asi:

Nucleo del grupo de Shapavalov. Es interesante hallar el conjunto de transformaciones que ponen en equivalencia el campo nulo a el mismo, llamado el nucleo del grupo de Shapavalo. Al imponer

nucleo se presenta como el producto cartesiano de dos subgrupos:

grupo galileano:

Constantes

grupo "de inversion":

En este subgrupo entran: la inversion de coordenadas y la transformación identica. Observamos que ambos subgrupos del nucleo son conocidas en la literatura [4].

Densidad de corriente. Sea la solución (I.6-4) que es la función propia del operador

entonces la densidad de flujo:

Recordamos que el cuasi-impetu se presente asi:

Las funciones (I.6-4) se pueden normalizar de manera que describe un flujo de particulas cuya densidad sea igual a uno (es decir un flujo en el cual por unidad de superficie de su sección transversal pasa, por termino medio, una particula en la unidad de tiempo) esta funcon sera

donde

es la norma de la velocidad de la particula. En

es decir,un vector unidad en la dirección del movimiento [5].

BIBLIOGRAFIA

N. Sukhomlin, M. Arias, J. Lopez, J. Liriano," Grupo de Shapavalov para la ecuación de Schrodinger", Ciencias Hay, Universidad Autónoma de Santo Domingo, 2001, mayo, n.7, pp. 3-5.

V. Shapovalov, N. Sukhomlin," Separación de variables en la ecuación de Schrodinger no estacionaria", Izvestia Vissihij Uchebnij Zavedenii, Fisica , 1974, n.12, pp. 100-105.

S. Fliigge, Practical Quantum Mechanics, vol. I, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1971, problem 65.

C. Boyer," The maximal kinematical invariance group for an arbitrary potencial"; Helv. Phys. Acta, 1979, v. 47, 589-605.

L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Curso abreviado defisica teorica libro 2.

Mecanica cuantica. Editorial Mir, Moscu., 1979, p. 75.